４点からなる交点の求め方

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下図のように４点（P1,P2,P3,P4）からなる２直線（P1～P3、P2～P4）の交点を求めるのに
外積を応用した方法を紹介します。
なんだか面倒臭そうと思った方は最後の方の答えを見て頂くと、外積を使った方が良さげだと
分かってもらえる？と思います。


上図から交点C1の位置を求めるには、点P1～点C1と点C1～点P3までの長さの比が分かれば、
点P1～点P3の直線を求めた比で分割すると交点が求まることが分かります。

この比は直線P2～P4と、点P1、点P3までのそれぞれの距離の比で求まります。
さらに、この比は直線P2～P4を底辺とする⊿P1P2P4と⊿P2P3P4の面積の比で求まります。
(図中に示した隣り合う両矢印の比は全て等しくなります。)

ここでやっと三角形の面積を求めるのに外積が登場してきます。
外積なので、上図のようにベクトルを
　　
　　ベクトルａ１　：　点Ｐ２⇒点Ｐ４
　　ベクトルａ２　：　点Ｐ１⇒点Ｐ３
　　ベクトルｂ１　：　点Ｐ３⇒点Ｐ２
　　ベクトルｂ２　：　点Ｐ２⇒点Ｐ１

と定義します。（向きにご注意下さい。）

こうすることで、
  ⊿P1P2P4の面積Ｓ１ = (a1 × b2) / 2
  ⊿P2P3P4の面積Ｓ２ = (a1 × b1) / 2
となります。（この計算ではあえて外積の値の絶対値を取っていません。）

あとは面積Ｓ１とＳ２との比を使うと交点が求まります。
このことを整理して点Ｐ１～点Ｐ４の座標を用いて交点の座標を表すと、

面積S1　= {(P4.X - P2.X) * (P1.Y - P2.Y) - (P4.Y - P2.Y) * (P1.X - P2.X)} / 2 面積S2　= {(P4.X - P2.X) * (P2.Y - P3.Y) - (P4.Y - P2.Y) * (P2.X - P3.X)} / 2

となり、交点の座標は

C1.X　= P1.X + (P3.X - P1.X) * S1 / (S1 + S2) C1.Y　= P1.Y + (P3.Y - P1.Y) * S1 / (S1 + S2)

となります。　　.X　、　.Y　はそれぞれ点のＸ座標とＹ座標を示します。

と、少し回りくどい説明になってしまいましたが、この計算で交点を求めると、
下図のような点の配置全てに同じ式で求めることができるので、オススメです。

これを知らないと、２直線の式を求めて、直線の交点を求めたりもしますが、直線の傾きが
水平や垂直だった場合などの条件分けをしないといけないので、結構面倒です。
（って、私が昔やっていた方法です．．．）

（追記）
この処理を水玉製作所の川村様がFlashで実現されています。
４点からなる交点が簡単に求められるのが、これを下記リンク先を見ると分かると思います。
http://www.mztm.jp/2010/08/05/clossline/